วันจันทร์ที่ 18 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2562

คำอธิบายรายวิชา

คำอธิบายรายวิชา

 ค 33202   คณิตศาสตร์                                                 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์                                                   ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6     ภาคเรียนที่ 2             เวลา   60   ชั่วโมง   จำนวน  1.5  หน่วยกิต                                                                                                                                   
              ศึกษาความรู้เกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็น  กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับแฟคทอเรียล  n  วิธีเรียงสับเปลี่ยน  วิธีจัดหมู่  ทฤษฎีบททวินาม    ความน่าจะเป็น   และ  กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น   
                  โดยจัดประสบการณ์   กิจกรรม หรือ โจทย์ปัญหาที่ส่งเสริมการพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการคิดคำนวณ การให้เหตุผล  การวิเคราะห์ การแก้ปัญหา  การสื่อสาร  การสื่อความหมาย และการนำเสนอ
                    เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจ  ความคิดรวบยอด  ใฝ่รู้ใฝ่เรียน  มีระเบียบวินัยมุ่งมั่นในการทำงานอย่างมีระบบ  ประหยัด  ซื่อสัตย์  มีวิจารณญาณ  รู้จักนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการดำรงชีวิตได้อย่างพอเพียง  รวมทั้งมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์

 ผลการเรียนรู้
  1.   แก้โจทย์ปัญหาโดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู่
  2.  นำความรู้เรื่องทฤษฎีบททวินามไปใช้ได้
    3.   หาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กำหนดให้ได้
     
 รวมทั้งหมด   3   ผลการเรียนรู้
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

แบบทดสอบก่อนเรียน

1.
ถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ b เท่ากับ 3 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของ a และ b มากกว่า a อยู่ 12 แล้ว a+2b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
12
2.
15
3.
18
4.
21
5.
30
2.
√(3+2√2) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
√2 - 1
2.
1 + √2
3.
2 + √2
4.
√6
5.
1 + 2√2
3.
พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้
   r1 = {(1,2), (1,3), (2,4), (3,6), (5,10)}
   r2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,4), (5,5)}
   r3 = {(x,y) | y = x2 + 1}
   r4 = {(x,y) | |y| = x}
จำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
0
2.
1
3.
2
4.
3
5.
4
4.
รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B และมุม C เป็นมุมแหลม เมื่อลากเส้นจากจุด A มาตั้งฉากกับด้าน BC ที่จุด D จะได้ AD ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของ AB และ AD ยาวเท่ากับ DC มุม A มีขนาดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
75°
2.
90°
3.
105°
4.
120°
5.
135°
5.
ถ้าสมการ y = a(x-h)2 + k มีกราฟดังรูป



แล้ว a + h + k เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
7/3
2.
17/3
3.
23/4
4.
25/4
5.
6
6.
ถ้า a1, a2, a3, ..., a11 เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่ง a6 = -8 แล้ว a1⋅a11 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
-64
2.
-24
3.
8
4.
24
5.
64
7.
กำหนดให้ a1, a2, a3, ..., an, ... เป็นลำดับเลขคณิต ถ้า a1 = 5 และ a4 = 11 แล้วผลบวก 20 พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
480
2.
490
3.
500
4.
520
5.
540
8.
ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x, 12, 14, 12.5, 11, 9.5, 8, 10, 11.5, 10.5 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ มีค่าเท่ากับฐานนิยม แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด
1.
9.5
2.
10
3.
10.5
4.
11
5.
11.5
9.
กล่องใบหนึ่งมีผ้ารูปสี่เหลี่ยม 8 ผืน ซึ่งมีความกว้างและยาว(ฟุต) ดังนี้
  {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {2,4}, {4,6}, {6,8}, {8,10}
ถ้าสุ่มหยิบ 1 ผืนจากกล่องใบนี้ แล้วความน่าจะเป็นที่ความยาวของเส้นทแยงมุมของผ้าผืนนี้เป็นจำนวนเต็มเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
1/8
2.
2/8
3.
3/8
4.
4/8
5.
5/8
10.
ถ้าเวลาที่ใช้ในการรอรถประจำทางในช่วง 6.00 - 8.00 น. ของพนักงานจำนวน 100 คน ของบริษัทแห่งหนึ่ง มีการแจกแจงความถี่ดังนี้
 
เวลาที่รถรอ(นาที)จำนวนพนักงาน(คน)
0 - 9
10 - 19
20 - 29
30 - 39		10
60
20
10
แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใช้ในการรอรถประจำทางของพนักงาน 100 คนนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
16.5 นาที
2.
17 นาที
3.
17.5 นาที
4.
18 นาที
5.
18.5 นาที
11.
กำหนดให้ a = 25, b = (3/2)10 และ c = (230)/(510) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
a < b < c
2.
a < c < b
3.
b < c < a
4.
b < a < c
5.
c < a < b
12.
ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ (|x-2| - 1)(|2x-1| - 2) = 0 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
1
2.
2
3.
3
4.
4
5.
5
13.
กำหนดให้ A = {x | x2 - 9x - 10 ≤ 0}, B = {x | 5 - 3x > 7 - 4x} และ C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ x ∈ A∩B} จำนวนสมาชิกของ C เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
4
2.
5
3.
8
4.
9
5.
12
14.
ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
- ½
2.
- 1/3
3.
¼
4.
1
5.
3/2
15.
จากรูป ถ้ากำหนดให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี 10 หน่วย มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มีคอร์ด CD ขนานกับ AB และ มุม ODC = 30° พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู AODC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
50 ตารางหน่วย
2.
20(1+√3) ตารางหน่วย
3.
60 ตารางหน่วย
4.
25(1+√3) ตารางหน่วย
5.
50√3 ตารางหน่วย
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

หน่วยที่1แฟกทอเรียล


แฟกทอเรียล (Factorial)







การคำนวณโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จะพบว่า คำตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกชุดหนึ่ง ซึ่งถ้าคำตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น
1•2•3•4•5 หรือ 6•5•4•3•2•1
จำนวนเหล่านี้เราสามารถใช้สัญลักษณ์ แฟกทอเรียล เขียนแทนได้
บทนิยาม  ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบกแล้ว ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้
1•2•3• … •n
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   n!   อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรียล
นั่นคือ
n! = 1•2•3• … •n
หรือ
n! = n•(n-1)•(n-2)• … •2•1
ตัวอย่างเช่น
1!  =  1
2!  =  2•1  =  2
3!  =  3•2•1  =  6
4!  =  4•3•2•1  =  24
5!  =  5•4•3•2•1  =  120
6!  =  6•5•4•3•2•1  =  720
7!  =  7•6•5•4•3•2•1  =  5,040
8!  =  8•7•6•5•4•3•2•1  =  40,320
9!  =  9•8•7•6•5•4•3•2•1  =  362,880
10!  =  10•9•8•7•6•5•4•3•2•1  =  3,628,800
หมายเหตุ   สัญลักษณ์ n! สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง คือ ∟n 
จากตัวอย่างดังกล่าว จะได้ว่า
8!  =  8•7!    ,    7!  =  7•6!
6!  =  6•5!    ,    5!  =  5•4!
4!  =  4•3!    ,    3!  =  3•2!    ,    2!  =  2•1!
นั่นคือ
n!  =  n•(n-1)•(n-2) … 3•2•1  =  n(n-1)!      …… (1)
และเพื่อให้คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n จึงต้องกำหนดค่า 0! เพิ่มเติม โดยการแทน n=1 ใน (1)  จะได้
1!  =  1(1-1)!
1!  =  1 • 0!
เพราะว่า 1!  =  1  และ  1  เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ จะได้ว่า
1  =  0!
บทนิยาม  เมื่อ  n=0  แฟกทอเรียล  0  มีค่าเท่ากับ  1  นั่นคือ  0!=1
ที่มา: https://olympus9.wordpress.com/2016/03/27/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5-factorial/
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

หน่วยที่2 วิธีการเรียงสับเปลี่ยน

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน
    วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3!5! 
                                   8! 

โดยวิธีสับเปลี่ยนนั้นจะใช้ทั้งหมด 2 เเบบคือ วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเเละวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น


สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ
1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด
    กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤  r ≤  n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย
Pn,r  =       n!   
              (n - r)!
ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด
1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่มเพื่อจัดเรียงเป็นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จะจัดได้ทั้งหมด 840 วิธี

2. ถ้าต้องการสลับคำว่า "ALIVE" จะสลับได้กี่วิธีหากให้ AL อยู่ติดกัน จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จะจัดได้ทั้งหมด 240 วิธี

3. หากต้องการจะจัดหนังสือการ์ตูนต่างกัน 5 เล่มเเละหนังสือนิยายต่างกัน 4 เล่มจะมีวิธีการจัดหนังสือหมวดเดียวกันที่อยู่ติดกันได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จะทำได้ทั้งหมด 161640 วิธี

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด
    กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤  r ≤  n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ 
วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง  =             n!           
                                      n1!n2!n3!....nk!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด
1. จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำว่า "PROBABLY" ที่เเตกต่างกัน โดยไม่คำนึงถึงความหมาย

วิธีทำ

คำตอบ
จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 40320 วิธี

2. มีลูกบอกทั้งหมด 6 ลูก เป็นสีดำ 1 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเทา 1 ลูก สีฟ้า 3 ลูก หากต้องการเลือกลูกบอล 4 ลูก มาจัดเรียงเป็นเเถวตรงได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
จะสามารถจัดได้ถึง 72 วิธี
ที่มา:https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit3/unit3-2
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

หน่วยที่3 ;วิธีจัดหมู่


วิธีจัดหมู่ (Combination)



วิธีจัดหมู่ (Combination)
หมายถึง การนำสิ่งของที่มีความแตกต่างกันทั้งหมดหรือเพียงบางส่วนมาจัดหมู่ โดยไม่ถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ
จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ให้มีหมู่ละ r สิ่ง (r<n หรือ r=n) เท่ากับ n! / (n-1)! . r! วิธี หรือ C(n, r)  = n! / (n-1)! . r!

ตัวอย่างที่ 1มี ดินสอ 12 แท่ง ซึ่งมีสีแตกต่างกันทั้งหมด ต้องการหยิบทีละ 5 แท่ง จงหาวิธีที่แต่ละครั้งในการหยิบมา จะต้องมีดินสอสีเขียวอยู่ด้วยเสมอ
วิธีทำ   จากโจทย์ แสดงว่าจะสามารถเลือกหยิบสีอื่นๆ ได้อีกเพียง 4 แท่งจากปากกาทั้งหมด 11 แท่งที่เหลือ
จะได้ว่า จำนวนวิธีในการหยิบ = 11! / (11-4)! . 4! = 11 . 10 . 9 . 8 / 4 . 3 . 2 . 1  วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการหยิบ = 330 วิธี

ตัวอย่างที่ 2 เด็กชายอันดามีหนังสือการ์ตูน 7 เล่ม เด็กหญิงฟ้าใสมีหนังสือการ์ตูน 9 เล่ม เด็กทั้งสองจะมีวิธีการแลกหนังสือกันคนละ 2 เล่ม ได้กี่วิธี
วิธีทำ   วิธีแลกหนังสือมีขั้นตอน ดังนี้
ขั้นที่ 1 เด็กชายอันดาเลือกหนังสือการ์ตูนของตัวเอง 2 เล่ม จากที่มีอยู่ 7 เล่ม เพื่อแลกกับเด็กหญิงฟ้าใส ทำได้ 7! / (7-2)! . 2! = 21 วิธี
ขั้นที่ 2 เด็กหญิงฟ้าใสเลือกหนังสือการ์ตูนของตัวเอง 2 เล่ม จากที่มีอยู่ 9 เล่ม เพื่อแลกกับเด็กชายอันดาทำได้ 9! / (9-2)! . 2! = 36 วิธี
ดังนั้น เด็กทั้งสองจะมีวิธีในการแลกหนังสือกันทั้งหมด 21 . 36 = 756 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 ก้อยมีเสื้อสีแดงแบบต่างๆกันอนู่ 6 ตัว และเสื้อสีขาวแบบต่างกันอีก 4 ตัว จะมีวิธีกี่วิธีที่ก้อยจะหยิบเสื้อมา 5 ตัวที่มีสีคละกัน โดยหยิบได้เสื้อสีแดงมากกว่าสีขาว
วิธีทำ   วิธีที่จะหยิบได้เสื้อสีแดงมากกว่าเสื้อสีขาว แยกเป็นกรณีได้ดังนี้
กรณี 1 หยิบได้เสื้อสีแดง 4 ตัว และสีขาว 1 ตัว
          ขั้นที่ 1 หยิบเสื้อสีแดงมา 4 ตัว จากทั้งหมด 6 ตัว ทำได้ 6! / (6-4)! . 4! = 15 วิธี
          ขั้นที่ 2 หยิบเสื้อสีขาวมา 1 ตัว จากทั้งหมด 4 ตัว ทำได้ 4! / (4-1)! . 1! = 4 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถหยิบเสื้อได้เท่ากับ 15 . 4 = 60 วิธี
กรณี 2 หยิบได้เสื้อสีแดง 3 ตัว และสีขาว 2 ตัว
          ขั้นที่ 1 หยิบเสื้อสีแดงมา 3 ตัว จากทั้งหมด 6 ตัว ทำได้ 6! / (6-3)! . 3! = 20 วิธี
          ขั้นที่ 2 หยิบเสื้อสีขาวมา 1 ตัว จากทั้งหมด 4 ตัว ทำได้ 4! / (4-2)! . 2! = 6 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถหยิบเสื้อได้เท่ากับ 20 . 6 = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะหยิบได้เสื้อสีแดงมากกว่าเสื้อสีขาวทั้งหมด = 60 + 120 = 180 วิธี
ที่มา:https://phonpat.wordpress.com/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87/2-%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88-combination/
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

หน่วยที่4ทฤษฎีบททวินาม

ทฤษฎีบททวินาม

เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
เราจะเห็นว่าสามารถเขียนแผนภาพเฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ได้ดังนี้
n=0                                          1
n=1                                      1      1
n=2                                  1      2      1
n=3                              1      3      3      1
n=4                         1      4      6      4      1
n=5                      1      5      10     10     5     1
n=6                 1      6      15     20    15     6      1
แผนภาพนี้เรียกว่า “สามเหลี่ยมของปาสคาล”
จากสามเหลี่ยมปาสคาล ทำให้เราทราบว่า
1. จำนวนแรกและจำนวนสุดท้ายของแต่ะแถมเท่ากับ 1 เสมอ
2. จำนวนใดๆ ในแต่ละแถว เกิดจากการบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่เหนือจำนวนนั้นๆ ไปทางซ้ายและทางขวาของแถวด้านบนที่ติดกัน
3. สามเหลี่ยมปาสคาลมีลักษณะสมมาตร
4. จำนวนทั้งหมดที่อยุ่ในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ n+1 จำนวน
5. ผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ 2n

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)
จากการพิจารณาสามเหลี่ยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ C(n, r)เมื่อ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ซึ่ง n>r>0 และ C(n, r) = n! / (n-r)! . r! ดังนี้
n=0                                C(0, 0)
n=1                            C(1, 0)  C(1, 1)
n=2                       C(2, 0) C(2, 1)  C(2, 2)
n=3                  C(3, 0) C(3, 1)  C(3, 2) C(3, 3)
n=4             C(4, 0) C(4, 1)  C(4, 2)  C(4, 3) C(4, 4)
n=5        C(5, 0) C(5, 1) C(5, 2) C(5, 3) C(5, 4) C(5, 5)
n=6   C(6, 0) C(6, 1) C(6, 2) C(6, 3) C(6, 4) C(6, 5) C(6, 6)
ดังนั้น สิ่งที่ทราบเพิ่มเติมจากสามเหลี่ยมปาสคาล คือ
(a+b)0 = C(0, 0)
(a+b)1 = aC(1, 0) + bC(1, 1)
(a+b)2 = a2 C(2, 0) + ab C(2, 1) + b2 C(2, 2)
(a+b)3 = a3 C(3, 0) + a2b C(3, 1) + ab2 C(3, 2) + b2 C(3, 3)
(a+b)4 = a4 C(4, 0) + a3b C(4, 1) + a2b2 C(4, 2) + ab3 C(4, 3) + b4 C(4, 4)
(a+b)5 = a5 C(5, 0) + a4b C(5, 1) + a3b2 C(5, 2) + a2b3 C(5, 3) + ab4 C(5, 4) + b5 C(5, 5)
(a+b)n = an C(n, 0) + a(n-1)b C(n, 1) + a(n-2)b2 C(n, 2) + … + a(n-r)br C(n, r) + … + ab(n-1) C(n, n-1) + bn C(n, n)
จากการกระจายบททวินามข้างต้น จะสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบททวินามได้ ดังนี้

ทฤษฎีบททวินาม
ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง และ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และ  n>r>0  แล้ว
(a+b)n = an + a(n-1)b C(n, 1) + a(n-2)b2 C(n, 2) + … + a(n-r)br C(n, r) + … + ab(n-1) C(n, n-1) + bn
และเรียก C(n, r) ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม
จากทฤษฎีบททวินาม เราจะได้บทสรุปว่า
1. การกระจายทวินาม(a+b)n แล้วจะได้ n+1 พจน์
2. เนื่องจาก C(n, 0) = C(n, n) = 1 ทำให้ทราบว่า an C(n, 0) = an และ bn C(n, n) = bn
3. กำลังของ a เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 สำหรับกำลังสองของ b เริ่มจาก 0 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n
4. ผลบวกของกำลังของ a กับ b ในแต่ละพจน์ จะเท่ากับ n เสมอ
5. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n) = 2n
6. (a+b)n = ผลบวกของ a(n-r)br C(n, r) เมื่อ r มีค่าตั้งแต่ 0-n
7. การหาพจน์และสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้เท่ากับ Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)
8. C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)
9. การหาเศษของการหาร (a+b)n / a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก สามารถพิจารณาได้จากการหาค่าตัวเศษของ bn / a
10. เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม :
a. (a+b)n + (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คี่จากการกระจาย (a+b)n
b. (a+b)n – (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คู่จากการกระจาย (a+b)n
ตัวอย่างที่ 1  จงกระจาย (2x-3)4 ให้อยู่ในรูปผลบวกของพจน์ต่างๆ โดยใช้สามเหลี่ยมของปาสคาล
วิธีทำ   เมื่อเทียบ (2x-3)4  กับ (a+b)n จะพบว่า a = 2x, b = -3 และ n=4
แทนค่าลงในทวินาม
(a+b)n   = a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
จะได้
(2x-3)n = (2x)4 +4(2x)3(-3) + 6(2x)2(-3)2 + 4(2x)(-3)3 + (-3)4

(2x-3)n = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x+ 81
ดังนั้น (2x-3)n = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x+ 81
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
วิธีทำ             จะพบว่า
(1+2)n = C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n)
3n      = C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n)
ดังนั้น C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n) = 3n
ตัวอย่างที่ 3 สัมประสิทธิ์ของการกระจาย x11 จากการกระจาย [x3+ (1/3x)]9 ค่าเท่าไหร่
วิธีทำ   พิจารณาการกระจาย [x3+ (1/3x)]9  พบว่า a = x3, b =1/3x และ n = 9
จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)
แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น
จะได้    Tr+1 = (x3)(9-r) (1/3x)r C(9, r)
= C(9, r) [(x27-3r)/(3rxr)]
= (1/3r) . C(9, r) . x27-4r
หาสัมประสิทธิ์ของ x11 นั่นคือ x27-4r = x11 และ 27-4r = 11,  r = 4
แทนค่า r= 4 ลงในสมการหาพจน์ของการกระจาย
Tr+1 = (1/3r) . C(9, r) . x27-4r
T4+1 = (1/34) . C(9, 4) . x27-4(4)
T5   = (1/81) . 126 . x11
T5   = (14/9)x11
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x11 จากการกระจาย [x3+ (1/3x)]9 เท่ากับ 14/9

ตัวอย่างที่ 4 ในการกระจาย (xy-2y-3)8 พจน์ที่มีผลบวกของกำลังของ x และ y เท่ากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เท่าใด
วิธีทำ  พิจารณาการกระจาย (xy-2y-3)8 พบว่า a = xy , b = -2y-3 , n = 8
จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)
แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น
จะได้    Tr+1 = (xy)(8-r) (-2y-3)r C(8, r)
= (-2)r C(8, r) x8-r y8-r y-3r
= (-2)r C(8, r) x8-r y8-4r
หาพจน์ที่ทีผลบวกของกำลังของ x กับ y เท่ากับ –4 นั่นคือ
x8-r y8-4r  :      (8-r) + (8-4r) = -4
16-5r = -4
r = 4
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีผลบวกของกำลัง x กับ  เท่ากับ –4 คือ (-2)4 C(8, 4) = 1,120

ตัวอย่างที่ 5 ในการกระจาย (x3+(2/x6))6 พจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ พิจารณาการกระจาย (x3+(2/x6))6 พบว่า a = x3 , b = 2/x6 , n = 6
จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)
แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น
จะได้    Tr+1 = (x3)(6-r) (2/x6)r C(6, r)
                    = (2)r C(6, r) [(x18-r)/(x6r)]
                     = (2)r C(6, r) x18-9r
หาพจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย นั่นคือ
x18-9r = x0
ดังนั้น            18-9r = 0
r = 2
นำค่า r ไปแทนในสมการหาพจน์
จะได้             Tr+1 = (2)r C(6, r) x18-9r
T2+1 = (2)2 C(6, 2) x18-9(2)
         = 60                            
ดังนั้น  T2+1 = 60
ที่มา:https://coolaun.com/math/pascal_tri/binomialthm/
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: ความคิดเห็น (Atom)